Phenquestions
Tout d'abord, clarifions ce qu'est la transformation de Fourier rapide et pourquoi vous souhaitez l'utiliser. Les mathématiques sont tout au sujet des fréquences. La transformée de Fourier est une méthode pour distinguer les ondes plus petites dans une onde complexe. Cela semblait complexe ; lorsque vous écoutez de la musique, vous entendez de nombreuses notes différentes du chanteur, des instruments, etc. En tant qu'êtres humains, nous pouvons souvent entendre la guitare seule, mais essayez de la distinguer avec la technologie dans un enregistrement et vous rencontrez des problèmes. La technologie moderne peut le faire, grâce aux différentes incarnations des équations de Fourier de base qui ont été développées au fil des ans. Les utilisations modernes de la série Fourier sont la compression d'images et de vidéos, les scans GPS et IRM. Tout cela fait une approximation de la source et utilise la série de Fourier pour économiser de la mémoire et obtenir des résultats plus rapides.
Le mathématicien Jean-Baptiste Joseph Fourier essayait en fait de résoudre l'équation de la chaleur, pour permettre de calculer comment la chaleur se propage dans la matière solide. Ce qu'il a proposé était bien plus utile que cela, même si ses méthodes ont ensuite été améliorées pour devenir une version plus formelle. Les équations sont maintenant utilisées dans un large éventail de domaines.
Pour distinguer une fréquence spécifique dans un signal complexe, vous pouvez utiliser certains calculs, les transformées de Fourier rapides. La base mathématique pour cela demande un peu de pratique. Khan Academy est un endroit agréable pour apprendre les mathématiques.
Lorsque vous devez analyser des ondes, vous pouvez utiliser des fonctions sinus pour approximer l'onde totale et obtenir tous les signaux séparés de l'onde mixte. Ou vice versa, vous pouvez faire une onde complexe à partir de plusieurs ondes sinusoïdales. C'est l'idée de base derrière les mathématiques.
Pour mieux comprendre vos transformées de Fourier, une bonne pratique consiste à les écrire vous-même. Dans Scilab, vous disposez d'un langage de programmation simple conçu en mettant l'accent sur les mathématiques.
Les différentes tâches dont vous aurez besoin pour les transformées de Fourier commencent par trouver les coefficients d'une transformée. La raison en est que c'est ce qui est utilisé pour la compression d'images et de nombreux autres processus.
Lorsque vous apprenez les bases de la série, la première chose qui est utilisée sont les coefficients. Les équations sont comme ceci :
Le code pour les résoudre est assez simple, il commence par une fonction. Cette fonction implémente la transformée de Fourier en petits morceaux.
Pour définir une fonction, vous utilisez la construction évidente « fonction ». Voici une série de Fourier pour une onde carrée :
y=4*sin(t)/1*%pi + 4*sin(3*t)/3*%pi + 4*sin(5*t)/5*%pi + 4*sin(7*t) /7*%pi
+ 4*sin(9*t)/9*%pi
fonction de fin
Pour rendre la vague encore plus carrée, c'est une approximation après tout, il faut continuer à augmenter le nombre de termes. Lorsque vous cherchez à recréer un motif, disons un dessin animé, vous utilisez la transformée de Fourier d'une manière très similaire. Il suffit de considérer la période comme infinie.
Droit simple? Eh bien, pas sans les connaissances de base en mathématiques. Essayez vous-même quelques exemples, en utilisant scilab.
Cet exemple montre la combinaison de signaux la plus simple possible ; deux signaux de fréquence différente.
//Choisissez une taille d'échantillonN = 100 ;
//Définir la séquence, cela crée le tableau
n = 0 : N-1 ;
//Créer la fréquence des signaux
w1 = %pi/4
w2 = %pi/8
//Faire les signaux échantillonnés
s1 = cos(w1*n);// La première composante du signal
s2 = cos(w2*n);// La deuxième composante du signal
//Combine les deux en un seul signal
//Dans ce cas, nous faisons un simple signal propre.
f = s1 + s2 ;
//Voici le signal résultant prêt pour la transformation.
chiffre(0) ;
tracé(f);
//La transformée de Fourier de ce signal ne doit montrer que la fréquence des composants.
F = fft(f);
F_abs = abs(F);
Figure 1);
plot(n,F_abs);
Figure 2);
tracé(F);
Utilisez l'exemple ci-dessus pour vous entraîner au fonctionnement de la transformation. Assurez-vous de le changer pour filtrer de différentes manières.
Une astuce consiste à utiliser la console Scilab pour voir ce que les variables contiennent à chaque étape du programme, de cette façon vous pouvez également voir que 'F' a un contenu imaginaire. Essayez de changer äfä d'une autre manière pour obtenir un résultat plus correct.
Dans l'industrie, l'utilisation la plus courante des transformées de Fourier est l'analyse du signal. Pour filtrer les fréquences d'un signal bruité, vous devez commencer par créer ou importer un signal. L'extrait de code suivant crée un signal mixte de deux fréquences, 50 et 70 Hz. Dans le code, vous pouvez également voir l'utilisation de 'grand', c'est l'appel scilab au hasard. Ces valeurs aléatoires sont ajoutées pour rendre le signal un peu plus bruité, plus proche de la réalité.
taux_échantillon=1000 ;t = 0 :1/taux d'échantillonnage : 0.6 ;
N=taille(t,'*'); //nombre d'échantillons
s=sin(2*%pi*50*t)+sin(2*%pi*70*t+%pi/4)+grand(1,N,'nor',0,1) ;
Maintenant, vous pouvez tracer 's' en fonction de 't' et voir que le graphique semble désordonné.
>>tracer(t,s);
Ici, il est temps d'essayer la plus simple des transformées de Fourier, faire de 'y' la transformée de Fourier de s.
y=fft(s);fft
Si vous tracez 'y' en fonction de 't', vous obtenez un motif quelque peu symétrique allant de 0 à 0.6. Les deux pointes sont ce que nous recherchons mais nous les voyons maintenant dans le domaine temporel. Ce qui s'est réellement passé, c'est que le résultat contenait toujours les valeurs imaginaires. Pour trouver les deux fréquences dans le domaine fréquentiel, nous avons besoin de quelques opérations supplémentaires pour ne trouver que les nombres réels. Et puis tu prends la valeur absolue des résultats. Le graphique indique clairement les fréquences d'origine.
Voici le code :
//s est réel donc la réponse fft est symétrique conjuguée et on ne retient que le premierN/2 points
f=taux_échantillon*(0 :(N/2))/N ; //vecteur de fréquence associé
n=taille(f,'*')
clf()
plot(f,absy(1:n)))
C'est l'utilisation la plus courante de la transformée de Fourier. En utilisant ce système, vous pouvez trouver n'importe quelle fréquence dans un signal complexe et bruyant. Les équations sont largement utilisées dans de nombreuses industries aujourd'hui.
La fonction fft2 de Scilab est la version bidimensionnelle de la transformation de Fourier rapide.
Une excellente façon de s'entraîner est de choisir les tonalités DTMF, de créer une pression sur un bouton et de demander à scilab de trouver la bonne clé.
Les démos dans Scilab elle-même contient une vitrine de fichiers son, étudiez-la.
Si vous voulez approfondir, voici quelques liens vers des lectures supplémentaires.
Littérature avancée :
https://cnx.org/contents/[email protected]/Implementing-FFTs-in-Practice#uid8
Wolfram…
http://démonstrations.wolfram.com/ComplexAndRealPlanesOfDiscreteFourierTransforms/
Implémentation dans d'autres langues :
https://www.nayuki.io/page/comment-implémenter-la-transformation-de-fourier-discrète
Pour bien comprendre le sujet :
https://mieux expliqué.com/articles/un-guide-interactif-de-la-transformation-de-fourier/
